Problema: Matemática Financeira.

Problema:
Dado um capital (C) emprestado a uma taxa de juros (i) e sendo pago uma quantia p por mês durante n meses saber quanto de juros (j) será pago.
Há duas maneiras de entender o problema:
Escolhe-se o número de meses ou o valor da parcela que será paga e a cobrança é feita no sistema de juros compostos sobre todo o capital durante todo o período:
Escolhe-se o número de meses ou o valor da parcela que será paga e a cobrança é feita no sistema de juros compostos sobre o que resta de dívida a cada mês durante todo o período:
Em I:
O montante da dívida será: M=C*(1+i)^n onde i está em decimal.
O valor de cada parcela será: p=(C*(1+i)^n)/n.
E os juros pagos j=M-C ou j=C*((1+i)^n-1).
Em II.
No 1° mês:
M=C*(1+i)– P
No 2° mês:
M=(C*(1+i)– P)*(1+i)-P
M=C*(1+i)^2– P*(1+i)-P
No 3° mês:
M=( C*(1+i)^2– P*(1+i)-P)*(1+i)-P
M= C*(1+i)^3– P*(1+i)^2– P*(1+i)– P
E no n-ésimo mês:
M= C*(1+i)^n– P*(1+i)^(n-1)– … - P* (1+i)– P
Os termos em P formam uma PG de n termos razão (1+i)
Logo M= C*(1+i)^n– P*(((1+i)^n-1)/i)
M=(C*i*(1+i)^n-P*(1+i)^n-P)/i
M=([C*i-P]*(1+i)^n-P)/i
Se o n-ésimo mês for o último tem-se M=0.
Sabendo quanto deseja pagar por mês pode-se descobrir o numero de meses que será pago fazendo:
([C*i-P]*(1+i)^n-P)/i=0
[C*i-P]*(1+i)^n-P=0
[C*i-P]*(1+i)^n=P
(1+i)^n=P/[C*i-P]
log(1+i)^n=log{P/[C*i-P] }
n* log(1+i)=logP-log[C*i-P]
n=(logP-log[C*i-P])/log(1+i)
Sabendo o numero de meses pode-se calcular o valor de cada parcela fazendo:
C*(1+i)^n– P*(((1+i)^n-1)/i)=0
C*(1+i)^n= P*(((1+i)^n-1)/i)
P=(C*i*(1+i)^n)/((1+i)^n-1)
E os juros serão j=p*n-C